Definición de desarrollo (matemática)

1. En Matemáticas, proceso de cálculo por el que se expresa una cantidad mediante una suma o producto continuado de sus términos individuales.
   
   El desarrollo de un producto, en que uno de los factores es una suma indicada, se obtiene mediante la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación; así
   
   ab(t + w) = abt + abw
   
   Si del segundo miembro de la igualdad se pasa al primero, la operación se denomina separar o sacar factor común; puede utilizarse indistintamente, una u otra expresión, según convenga.
   
   Un desarrollo característico es el llamado Binomio de Newton por el cual se obtiene la potencia n-ésima de un binomio sin necesidad de efectuar multiplicación alguna.
   
   Existen otros métodos para desarrollar expresiones analíticas como, por ejemplo, los de Taylor y Mac-Laurin que permiten desarrollar en serie una función determinada. El método de Fourier permite desarrollar una función en serie trigonométrica.
   
   El desarrollo en matemáticas también se refiere a la expansión de expresiones algebraicas, como polinomios, en formas que facilitan su manipulación y comprensión.
   
   Por ejemplo, el desarrollo del cuadrado de un binomio (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 es un caso particular de aplicación de la fórmula general para potencias de binomios, mostrando cómo se pueden desglosar estas expresiones en términos más simples.
   
   Además, el concepto de desarrollo se extiende al ámbito del cálculo infinitesimal, donde las series de Taylor y Mac-Laurin ofrecen una herramienta poderosa para aproximar funciones mediante polinomios.
   
   Estas series permiten representar funciones complejas en términos de sumas infinitas de potencias, facilitando su análisis y cálculo en diversos campos de la ciencia y la ingeniería.
   
   En el contexto de las ecuaciones diferenciales, el desarrollo puede utilizarse para encontrar soluciones aproximadas que, aunque no sean exactas, proporcionan una comprensión valiosa del comportamiento de sistemas dinámicos. Este enfoque es especialmente útil en situaciones donde las soluciones exactas son difíciles o imposibles de obtener.
   
   El desarrollo matemático no solo es fundamental para la teoría matemática pura sino que también tiene aplicaciones prácticas significativas.
   
   En la física, por ejemplo, el método de Fourier transforma problemas en el dominio del tiempo a problemas en el dominio de la frecuencia, facilitando el análisis de señales y sistemas.
   
   En economía, las series de Taylor se utilizan para modelar y predecir el comportamiento de los mercados financieros bajo ciertas condiciones.

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