Definición de cisoide (curva)

1. Curva cúbica simétrica respecto al eje de abscisas, cuyas dos ramas se unen en un punto anguloso, denominado de retroceso, parecido al extremo de una hoja de hiedra, de la que toma su nombre (kisos = hiedra, en griego). Fue concebida por el matemático griego Diocles (hacia 200 a. de J.C.) para obtener la arista de un cubo de volumen doble que otro dado. Este problema —duplicación del cubo— interesó a los geómetras de la antigüedad quienes intentaron resolverlo por construcción puramente geométrica, es decir, empleando solamente la regla y el compás. Se ha conseguido demostrar, por modernos procedimientos algebraicos, que es imposible la resolución en tales condiciones. Aunque la construcción geométrica permite determinar puntos particulares de la cisoide, es preciso emplear además otro instrumento para construir la curva en trazo continuo.
   
   En la construcción geométrica, OCA es el diámetro de un círculo y AB su tangente en el extremo A del diámetro. Trácese la secante OB que cortará la cir
   
   cunferencia en Q. Si sobre la cuerda OQ. llevamos, a partir de O, un segmento OP, igual al BQ., obtenemos un punto, P, de la cisoide. En el procedimiento de construcción continua por medio de una escuadra, ideado por Sir Isaac Newton, prolongando el radio CO se toma OD = CO, y se traza el diámetro EG, perpendicular al OA. A partir del vértice N de la escuadra y a lo largo de uno de sus lados, se toma el segmento NF igual al diámetro OA. Si la escuadra, con el ángulo recto FND y con FN constante, se desplaza de modo que F recorra EG o su prolongación, mientras el lado ND desliza por D, el punto medio R de FN recorrerá la cisoide. Si designamos por a el radio del círculo y tomamos el punto O como origen de un sistema de coordenadas cartesianas, la ecuación de la cisoide es (ver Geometría analítica). El matemático francés Pierre de Fermat demostró que el área comprendida entre ambas ramas de la cisoide y su asíntota (v. Asíntota), que es la tangente BA, equivale a tres veces el área del círculo. Para obtener el lado del cubo doble pedido se prolonga el diámetro EG hasta K, siendo GK = CG; se traza KA, que corta a la cisoide en L; y se traza desde L una perpendicular a OA, a la que corta en M. Si OM es la arista del cubo dado, puede demostrarse que ML es la arista de un cubo de volumen doble.

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