Un homomorfismo en álgebra es una función que preserva la estructura entre dos sistemas algebraicos similares, como grupos, anillos o espacios vectoriales. En el caso de los espacios vectoriales, se les llama mapas lineales y son estudiados en álgebra lineal. Este concepto se ha ampliado a otras estructuras no algebraicas bajo el nombre de morfismo, siendo fundamental en la teoría de categorías.
m. En álgebra, un homomorfismo es un mapa de conservación de estructuras entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (como dos grupos, dos anillos o dos espacios vectoriales).
Los homomorfismos de los espacios vectoriales también se denominan mapas lineales, y su estudio es objeto de álgebra lineal.
El concepto de homomorfismo se ha generalizado, bajo el nombre de morfismo, a muchas otras estructuras que no tienen un conjunto subyacente o no son algebraicas. Esta generalización es el punto de partida de la teoría de categorías.
Un homomorfismo puede ser también un isomorfismo, un endomorfismo, un automorfismo, etc. Cada uno de ellos puede ser definido de una manera que puede ser generalizada a cualquier clase de morfismos.
Un homomorfismo es un concepto fundamental en álgebra y otras áreas de las matemáticas, ya que permite estudiar las relaciones entre diferentes estructuras algebraicas y entender cómo se relacionan entre sí.
En el caso de los grupos, un homomorfismo preserva la estructura algebraica del grupo, es decir, respeta la operación binaria del grupo y la identidad. De manera similar, en el caso de los anillos, un homomorfismo conserva las operaciones de suma y producto, así como el elemento neutro.
En el ámbito de la teoría de categorías, el concepto de homomorfismo se generaliza a cualquier clase de estructuras matemáticas, permitiendo así un enfoque unificado para estudiar las propiedades y relaciones entre diferentes objetos matemáticos.
Etimología u origen de la palabra homomorfismo: La palabra homomorfismo viene del griego antiguo: ὁμός (homos) que significa "mismo" y μορφή (morphe) que significa "forma" o "forma". Sin embargo, la palabra fue aparentemente introducida a las matemáticas debido a una traducción (errónea) del alemán ähnlich que significa "similar" a ὁμός que significa "igual".
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Interprete lo que significa homomorfismo entre conjuntos o entre estructuras
Un homomorfismo entre conjuntos o entre estructuras es un mapa que preserva la estructura de los objetos que están siendo mapeados.
Es decir, si tenemos dos conjuntos o estructuras algebraicas, como dos grupos, dos anillos, dos espacios vectoriales, entre otros, un homomorfismo es una función que mantiene la operación o la estructura algebraica de los objetos en cuestión.
Esto significa que, si aplicamos la función a los elementos de una estructura algebraica, el resultado también tendrá una estructura algebraica y las propiedades de esa estructura se preservarán en el resultado.
Por ejemplo, en el caso de dos grupos, un homomorfismo sería una función que preserva la operación binaria de los grupos, es decir, que la imagen de la suma de dos elementos del primer grupo sería igual a la suma de las imágenes de esos elementos en el segundo grupo.
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