México se escribe con X y no con J. Además es en mayúscula.

La definición está mal escrita.
México es un nombre propio y se escribe con mayúscula. También se escribe con "X" y no con "J".

En la definición dice: Perteneciente a este Estado de la república mejicana.

En este caso mejicana se escribe en minúscula porque es un gentilicio (es un adjetivo) como decir: chileno, argentino, brasilero.

En inglés sí se escriben en mayúscula: Mexican, Argentinian, Chilean...

En cuanto a México/Méjico:

«Méjico. Este nombre puede escribirse (siempre pronunciado /méjiko/) con j o con x, así como todos sus derivados: mejicano, mejicanismo, mejicanista, nuevomejicano. México es la frafía oficial que los mejicanos han querido dar al nombre de su nación y que, a petición suya, se ha extendido en el uso de todos los demás países hispanoamericanos. Ahora, en España, casi todos los periódicos adoptan la misma grafía. Se trata de un arcaísmo ortográfico semejante al de escribir Jiménez en la forma Ximénez y Jerez en la forma Xerez. Lo más recomendable es escribir Méjico y extender esta j a todos los derivados de ese nombre. La grafía con x puede dar lugar, como ocurre con cierta frecuencia, a que locutores ignorantes digan /méksiko/ y /meksikáno/.»
[Manuel Seco: Diccionario de dudas y dificultades de la lengua española, Madrid: Espasa, 1998, p. 292]