Significado de «cálculo infinitesimal»

Mat. Conjunto de los cálculos diferencial e integral.

Se sugiere leer también la definición de: cálculo

Rama de las Matemáticas que se sirve de la teoría de los límites para resolver infinidad de problemas. Se divide en dos partes: cálculo diferencial y cálculo integral.

Los orígenes del cálculo diferencial se establecen en el siglo xvii, estrechamente ligados al problema geométrico de la tangente a una curva y al de los máximos y mínimos. Sus inventores fueron propiamente Newton y Leibniz, pero la definición de diferencial de Leibniz (1689) y sus notaciones son las que han perdurado hasta nuestros días.

En cambio, el cálculo integral se remonta a los griegos, en problemas de cálculo de áreas y volúmenes, tratados aisladamente, y son dignos de mención los trabajos de Antifonte (430 a. de J.C.) y de Eudoxo, según nos los ha transmitido Euclides en sus Elementos. A este tipo de problemas está consagrada la obra de Arquímedes, gran parte de la cual ha llegado inalterada hasta nosotros. Fue un problema práctico, con motivo de una gran cosecha de uva en Austria, donde Kepler (astrónomo alemán) se encontraba, que indujo a éste a estudiar la cubicación de toneles hasta formular una teoría que, a pesar de ser muy imperfecta, resolvía la cubicación de 92 tipos de sólidos de revolución. En otros trabajos de Kepler se insinúa el problema inverso de la tangente, que es lo que había de dar origen al cálculo integral. Se sigue intentando resolver el problema de las cuadraturas y es el jesuíta italiano Buenaventura Cavalieri quien en 1645 hace progresar la teoría considerablemente, si bien en dirección distinta a la de Kleper. También Galileo, en forma ignorada, establece en su Discurso (1638) una verdadera integración de la función gt, para llegar a la ley de la caída de los graves (gt^2)/2. Un gran progreso del cálculo integral está reservado a John Wallis, quien, abandonando el método geométrico, aborda la integración analíticamente.

El cálculo integral tiene un problema único: la Cuadratura, pero Barrow mostró en 1669 que el problema de las tangentes se relaciona con el del área limitada por una curva y vinculó el cálculo integral con él diferencial, que se entrelazan y completan, por lo que su evolución histórica debe seguirse a partir de esa fecha simultáneamente. La importancia del resultado de Barrow no se puede ponderar suficientemente; representa el punto de confluencia de dos grandes corrientes del pensamiento: el cálculo integral de Arquí-medes, evaluación de áreas por artificios de sumación tan ingeniosos como infecundos, y el cálculo diferencial para la resolución del problema de la tangente (obra de Fermat y Pascal), disciplinas que parecían condenadas a la esterilidad. De esta conjunción nació, según queda dicho, el análisis moderno por obra de Newton y Leibniz.

El cálculo integral se propone, dada una expresión diferencial o una derivada,

dy = f(x)dx, dy/dx = F'(x) = F(x),

hallar la función originaria de esta derivada, llamada función primitiva.

En el cálculo diferencial se pasa de las funciones a las diferenciales, mientras que en el cálculo integral partiendo de estas últimas se llega a las funciones primitivas, de modo que un cálculo es inverso del otro. Pero, mientras que el cálculo diferencial señala reglas precisas para derivar una función según sea su natura-raleza, el cálculo integral da sólo leyes o procedimientos generales para integrar las expresiones diferenciales de grupos de funciones. Las reglas para la integración son menos completas que las de la derivación, por lo que en el cálculo integral se exige avivar más el ingenio matemático. La integración es propiamente un arte y para perfeccionarse en él hay que practicarlo mucho.