Definición de concavidad, convexidad e inflexión

1. Se dice en Matemáticas que una curva presenta concavidad cuando, en un entorno del punto determinado, las ordenadas de la curva son siempre mayores que la ordenada de la tangente a la curva en dicho punto. Por el contrario, si las ordenadas de la curva son menores que las de la tangente, se dice que la curva presenta convexidad.
   
   
   La condición necesaria para que una curva f(x) presente concavidad o convexidad en un punto de abscisa a, es que la primera derivada no nula a partir de la segunda sea de orden par. Si ésta es positiva existe concavidad, y, por el contrario, si es negativa tenemos una convexidad.
   
   
   Si n = 2 representa el orden de la primera derivada no nula a partir de la segunda, tendremos que cuando
   
   
   f(n) (a) > 0, existe concavidad, y al ser f(n) (a) < 0, existe convexidad.
   
   
   Ejemplo: La función f(x) = x^4 — 6x^2 + x + 2, presenta convexidad en el intervalo — 1 < x < 1, por ser su segunda derivada f"(x) = 12x^2 — 12 < 0, en este intervalo. Fuera de este intervalo la función presenta concavidad, por ser su segunda derivada f"(x) = 12x^2 — 12 > 0. Así, por ejemplo,
   
   
   f"(5) = 300 - 12 > 0
   
   
   Se dice que una curva presenta inflexión, cuando en un entorno del punto considerado, la curva queda a un lado y a otro de la tangente, es decir, cuando la curva pasa de cóncava a convexa o viceversa.
   
   
   La condición necesaria para que exista inflexión, es que la primera derivada que no se anule, a partir de la segunda, sea de orden impar. Habrá de ser, por lo menos la segunda derivada igual a cero, lo cual da la forma de operar para la búsqueda de los puntos de inflexión.
   
   
   Para n impar, excepto n = 1, cuando f(n) (a) ≠ 0, la curva presenta inflexión.
   
   
   Ejemplo: La función antes citada
   
   f(x) = x^4 - 6x^2 + x + 2
   
   
   tiene como segunda derivada f"(x) = 12x^2 — 12.
   
   
   Planteada la ecuación 12 x — 12 = 0, cuyas soluciones son x = +- (-1), se examina si en esos puntos la tercera derivada es distinta de cero. En este caso, como f'"(x) = 24x, será f'"(1) =24 ≠ 0, f'"(-1) = -24 ≠ 0. Luego la curva propuesta presenta dos puntos de inflexión para x = 1 y x= -1

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