Significado de «dimensión (en matemática)»

Magnitud medida en una cierta dirección. En el sentido corriente de la palabra, las dimensiones son tres, longitud, anchura y altura. La longitud es unidimensional y se expresa en unidades lineales; el área es bidimensional (longitud X anchura) y se da en unidades superficiales o cuadradas; el volumen es una magnitud tridimensional (longitud X anchura X altura) y se mide en unidades cúbicas. En la Física relativista el tiempo se toma como cuarta dimensión o cuarta Coordenada para localizar un suceso en el espacio y en el tiempo. Matemáticamente pueden concebirse dimensiones en número indefinido, pero no es necesario considerarlas como coordenadas de un punto en el espacio. Es muy dudoso que alguien pueda tener una imagen mental clara de un espacio de más de tres dimensiones.

El término dimensión tiene en Física un significado de importancia secundaria. En Mecánica se han escogido arbitrariamente tres unidades fundamentales, las de longitud, masa y tiempo, que generalmente se designan con los símbolos X, M y T. Todas las demás unidades se denominan unidades derivadas porque pueden expresarse en función de las tres fundamentales. Las ecuaciones dimensionales de las unidades derivadas están compuestas por los símbolos de las fundamentales con los exponentes correspondientes. Así, si la velocidad se define como el espacio dividido por el tiempo, de la ecuación V = L / T, se deduce la ecuación dimensional V = [LT^(-1)]. Los corchetes fueron introducidos por Maxwell para indicar que los símbolos corresponden a dimensiones únicamente y no a cuantías o valores de las magnitudes.

En la tabla siguiente se reúnen algunas de las ecuaciones dimensionales más corrientes.



El principal valor de estas expresiones consiste en que permiten comprobar la homogeneidad de las ecuaciones empleadas en Física. El físico francés Fourier formuló por primera vez en 1822 la regla de que en cualquier ecuación que exprese una ley natural, ambos miembros deben tener las mismas dimensiones, lo que equivale a decir que sólo pueden ser iguales dos cosas de la misma naturaleza. Si uno de los miembros de una ecuación, física tiene dimensiones distintas al otro, dicha ecuación es falsa.

Para aclarar cómo se ensaya la homogeneidad, supóngase que en lugar de escribir, como es lo correcto, e = 1/2 at^2, se hiciera equivocadamente e = 1/2 at. La ecuación de dimensiones de e, una longitud, es X; la de a, una aceleración, LT^(-2), y la de t, un tiempo, es T. La ecuación dimensional sería [L] = [LT^(-2)T] o sea [L] = [LT^(-1)]. Las dimensiones de ambos términos son diferentes, luego la ecuación es falsa. En la ecuación correctamente escrita, el análisis dimensional daría [L] = [LT^(-2)T^2], es decir, [L] = [L], Véase Einstein, Albert