Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de distancias de dicho punto a los dos puntos de intersección de cada secante con la circunferencia es constante. Esta cantidad constante (con su signo) se llama potencia del punto respecto de la circunferencia. Si el punto es exterior, la potencia es igual al cuadrado del segmento de tangente comprendido entre dicho punto y el de contacto.

Cincunferencia (Geometría analítica). La ecuación general de la circunferencia es

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

en donde: D = — 2a; E = — 2b; siendo a y b las coordenadas del centro.

F = a^2 + b^2 — r2, siendo r el radio de la circunferencia.

Evidentemente, si el centro fuera el origen de coordenadas, D = E = 0, resultando, en este caso particular, la ecuación de la misma como sigue: x^2 y^2 = r^2.

Entre los varios problemas que presenta la circunferencia se tiene en primer lugar el de intersección entre la recta y la curva; las coordenadas de los puntos de contacto vendrán determinadas por las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de ambas líneas, toda vez que, al ser puntos comunes tanto a la recta como a la circunferencia, tendrán que satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente.

Seguidamente se plantea el problema de averiguar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. Volviéndonos a basar en el principio de Geometría analítica de que todo punto que pertenezca a una recta o curva ha de satisfacer la ecuación correspondiente, formaremos un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, sustituyendo la x e y de la ecuación general de la circunferencia por los pares de valores que determinan cada punto; así, se tendrá:

x1^2 + y1^2 + Dx1 + Ey1 + F = 0

x2^2 + y2^2 + Dx2 + Ey2 + F = 0

x3^2 + y3^2 + Dx3 + Ey3 + F = 0

En donde D, E, F son las incógnitas.

Otro problema que se presenta con frecuencia es el de determinar la ecuación de la tangente a la circunferencia, cuestión que se resuelve con las siguientes fórmulas:


a) Si el centro es el origen:

y - y1 = x1/y1 (x — x1); o bien:

yyi + xx1 = r2;


b) Si el centro no es el origen:

y-y1 = - ((x1-a)/(y1-b)) (x-x1).


Consecuencia del problema de la tangente es el de la ecuación de la normal a la circunferencia, o sea, perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Por consiguiente, como las rectas perpendiculares tienen el coeficiente angular inverso y de signo contrario, en las fórmulas dadas para la tangente no hay más que hacer la inversión de los coeficientes angulares, así como el cambio de signo para obtener las ecuaciones de las respectivas normales.

Para más información ver: circunferencia y círculo.