Significado de «curvas de funciones trigonométricas»

Las seis funciones trigonométricas de un ángulo (v. Trigonometría) pueden definirse no sólo para ángulos agudos, sino para ángulos cualesquiera. La gráfica o curva cartesiana de estas funciones se obtiene expresando horizontalmente la cuantía del ángulo y en sentido vertical el correspondiente valor de la función. Las funciones del seno y coseno son utilizadas frecuentemente para representar formas ondulatorias simples (v. Periodo y periodicidad), desplazamientos armónicos sencillos y oscilaciones. Véase Coordenadas.


La curva seno, ecuación y = sen x, es cero si x = 0 y oscila entre un valor máximo de más uno ( + 1) para x = 90° o π/2 radianes, y un valor mínimo de menos uno ( -1) para x = 270° o 3π/2 radianes. La curva se repite, para los valores positivos y negativos de x, a intervalos de 360° o 2π radianes, amplitud que constituye por eso el periodo de la función (fig. 1).





La curva coseno, ecuación y = cos x, tiene la misma forma que la curva seno, con la cual coincidiría si se trasladara 90° (o π/2) hacia la derecha a lo largo del eje x, o sea, posee una diferencia de fase de 90° o π/2 con respecto a la curva seno; analíticamente: cos x = sen (90° - x). Ambas curvas, la del seno y la del coseno, tienen amplitud 1, que es el valor máximo absoluto de la función; además, sen x = sen (x + P) y, análogamente, cos x = cos (x + P), en donde P = 360°, que es el periodo de cada una de las funciones. Una ecuación de la forma y = A sen (x - c) es utilizada habitualmente para representar un desplazamiento armónico que se anula cuando x = c y su amplitud es A; es decir, la distancia vertical entre el máximo y el mínimo de la curva es 2A. Véase figura 2.


La curva tangente, ecuación y = tan x, pasa por el origen de coordenadas de un lado a otro de ambos ejes y es asintótica (v. Asíntota) a las lineas verticales x = = -90° y x = +90° (fig. 3).





Hay un punto de inflexión en el origen, donde la curvatura pasa de cóncava hacia abajo, a la izquierda del origen, a serlo hacia arriba, a la derecha, conservando así el lado convexo de la curva hacia el eje X. La curva se repite en otras ramas a intervalos de x de 180° o π y corta el eje X para valores de x enteros y múltiplos de π. Como la cotangente de x es la recíproca de la tangente de x, la gráfica de y = cos x es asintótica a las líneas

verticales x = 0 y x = +π y corta el eje X en π/2, o 90°. Esta curva se repite también en otras ramas a intervalos de 180° y corta el eje X en los valores múltiplos enteros impares de 90°.

La curva secante, ecuación y = sec x, está representada en la figura 4 junto con la curva y = cos x, su función recíproca. No existen porciones de la curva secante entre los valores +1 y -1 de y. Los valores mínimos (y = +1) de las ramas que son cóncavas ascendentes, corresponden a x = 0, ±2π, ±4π, etc.; los valores máximos (y = -1) de las ramas que son cóncavas hacia abajo corresponden a x = ±π ±3π, etcétera.





La curva cosecante, ecuación y = cosec x, aparece en la figura 5 junto con la curva y = sen x, la función recíproca. Si las ramas de esta curva fueran desplazadas 90° hacia la izquierda coincidirían con las ramas de la curva secante.





Funciones trigonométricas inversas. La función sen -1 x, o bien, arc sen x, se conoce por la inversa de la función sen x. Su significación es «el arco cuyo seno es x». Así, y = sen -1 x;, o y = arc sen x, puede ser expresado como x = sen y. Para representar una función inversa es quizá más sencillo escribir primero la función en forma directa, como arriba (fig. 6). Véase Función.